Conjuntos numéricos

Definição de Conjunto: Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. 

O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... } Relação de pertinência. Sendo x um elemento do conjunto numérico A , escrevemos x E A , onde o símbolo E significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y ₡ A. 

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por ø . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: i= { x; x ≠ x} e U = {x; x = x}.

Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A d B. Notas: a) todo conjunto numérico é subconjunto de si próprio. ( A d A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (id A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { ø , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, são eles: Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: é evidente que N E Z.

Conjunto dos números racionais

Q = {x; x = p/q com p 0 Z , q 0 Z e q … 0 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero! São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) é evidente que N E Z E Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9 _

Conjunto dos números irracionais

I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais: Π = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) √ 3 = 1,732050807... (raiz não exata).

Conjunto dos números reais

R = { x; x é racional ou x é irracional}. Notas: a) é óbvio que N d Z d Q d R b) I d R c) I cQ = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO 9º ANO

Propriedades da Radiciação

As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número negativo.

A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário

Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:

Exemplo:

Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.

Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo

Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:

Exemplos:

Raiz de uma Potência

A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:

Exemplo:

Produto de Radicais de Mesmo Índice

O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:

Exemplo:

Vamos verificar:

Divisão de Radicais de Mesmo Índice

O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:

Exemplo:

Verificando:

Simplificação de Radicais Através da Fatoração

Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar  decompondo 91125 em fatores primos:

Como 91125 = 3^6 _. 5³ podemos dizer que:

Repare que tanto o expoente do fator 3⁶, quanto o expoente do fator 5³ são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:

Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.

Vejamos agora o caso do radical :

Logo 2205 = 3^2 _. 5 _^. 7², então:

Como os expoentes dos fatores 3² e 7² são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:

Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :

Note que 729 = 3⁶, então:

Neste caso o expoente de 3⁶ não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:

Repare que agora o expoente do fator 3⁵ é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:

Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:

Simplifique .

Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:

Logo:

Outro exemplo, simplifique .

A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:

Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:

FELICIDADE

Para ser feliz é preciso primeiramente acreditar que você pode.
Acredite!

PLANO DE CURSO 1º ANO

COLÉGIO ESTADUAL ROCHA LEAL

Matemática 1º ano do ensino médio

Professor: Francisco Wagner

 

O ensino de Matemática deverá associar os seguintes aspectos:

Formativo, buscando desenvolver as habilidades do pensamento, como a organização do raciocínio, a capacidade de indução e dedução, e a abstração, bem como atitudes como a iniciativa, a persistência, a autoconfiança e a cooperação.

Instrumental, apresentando a Matemática como ferramenta útil na representação e na interpretação de situações científicas, do trabalho e cotidianas.

Científico, pois o aluno do Ensino Médio tem condições de compreender a Matemática como ciência estruturada em definições, conceitos e propriedades encadeadas, de modo que cada conceito ou procedimento é construído a partir de estruturas anteriores.

Tecnológico, não só no sentido de aprender a utilizar a calculadora ou o computador, mas no sentido de adaptar-se a novos tipos de linguagem, a diferentes formas de representação de dados e idéias, a selecionar e analisar informações adequadamente.

 

OBJETIVO GERAL: Desenvolver o pensar logicamente, relacionando ideias, descobrindo regularidades e padrões, estimulando sua curiosidade, seu espírito de investigação e sua criatividade na resolução de problemas, integrando os vários eixos temáticos da Matemática demonstrando a aplicabilidade da Matemática no mundo real.

 

1º BIMESTRE

 

• Teoria dos conjuntos
  
• Classificação dos números
  
• Intervalos reais
  
• Equações do 1º e 2º grau e sistemas
  
• Matemática financeira
  

 

2º BIMESTRE

 

• Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
  
• Circunferência, círculo e cálculo de áreas
  

  
   

3º BIMESTRE

 

• A linguagem das funções
  
• Função real de variável real – composição e inversão de funções
  
• Função polinomial do 1º e do 2º grau
  
• Função modular, exponencial e logarítmica
  

 

4º BIMESTRE

 

• Sequencias – progressão aritmética e geométrica
  
• Noções de estatística
  
• Trigonometria no triângulo retângulo
  

 

 

 

 

 

OBJETIVOS

 

Reconhecer, em várias situações, grandezas que se relacionam de forma linear.

Traduzir a relação entre essas grandezas por meio de uma expressão algébrica (lei de associação).

Identificar funções de 1º grau e funções constantes, representando-as por meio de tabelas e gráficos.

Interpretar gráficos, tabelas e leis de associação, usando essa interpretação para justificar ou fazer previsões sobre o comportamento das grandezas.

Reconhecer funções de 2º grau na forma algébrica e gráfica.

Traçar e interpretar gráficos de funções do 2º grau.

Aplicar os conceitos de máximo e mínimo da função de 2º grau em problemas.

Resolver inequações de 2º grau.

Aplicar funções na resolução e interpretação de problemas de contexto científico ou cotidiano.

Aplicar funções do 2º grau e seus gráficos na resolução de problemas práticos.

Aplicar os conceitos de máximo e mínimo da função de 2º grau em problemas.

Resolver equações e inequações exponenciais.

Resolver problemas práticos envolvendo a função exponencial.

Calcular o logaritmo de um número através da definição e das propriedades.

Resolver equações logarítmicas.

Resolver problemas aplicando logaritmo.

Resolver problemas envolvendo progressões aritméticas.

Aplicar a soma dos termos de uma progressão aritmética na resolução de problemas.

Resolver problemas envolvendo progressões geométricas.

Aplicar a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita na resolução de problemas.

Relacionar o estudo das funções trigonométricas à descrição de fenômenos físicos.

Construir o ciclo trigonométrico e nele representar números reais.

Localizar o quadrante onde está o arco.

Calcular os valores das funções trigonométricas e em todos os seus côngruos.

Usar corretamente a relação fundamental da Trigonometria na resolução de exercícios.

Usar corretamente as relações trigonométricas na resolução de exercícios.

 

Planificações geométricas

Aos cabeças

E aí cabeçudos e cabeçudas do meu coração. Espero que gostem e desfrutem à vontade do blog.
Beijos a todos!