PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO 9º ANO

Propriedades da Radiciação

As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número negativo.

A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário

Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:

Exemplo:

Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.

Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo

Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:

Exemplos:

Raiz de uma Potência

A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:

Exemplo:

Produto de Radicais de Mesmo Índice

O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:

Exemplo:

Vamos verificar:

Divisão de Radicais de Mesmo Índice

O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:

Exemplo:

Verificando:

Simplificação de Radicais Através da Fatoração

Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar  decompondo 91125 em fatores primos:

Como 91125 = 3^6 _. 5³ podemos dizer que:

Repare que tanto o expoente do fator 3⁶, quanto o expoente do fator 5³ são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:

Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.

Vejamos agora o caso do radical :

Logo 2205 = 3^2 _. 5 _^. 7², então:

Como os expoentes dos fatores 3² e 7² são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:

Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :

Note que 729 = 3⁶, então:

Neste caso o expoente de 3⁶ não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:

Repare que agora o expoente do fator 3⁵ é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:

Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:

Simplifique .

Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:

Logo:

Outro exemplo, simplifique .

A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:

Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um: