Avaliação para preparação para Prova Brasil 2015.
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Aqui disponibilizarei material de estudo sobre Matemática!
quinta-feira, 10 de setembro de 2015
2ª Avaliação Dirigida Amostral Goiás 2015
Preparação para prova Brasil. Acesse o link e veja a prova.
O aluno e o Saber Matemático
O aluno e o saber matemático
As
necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência
essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar
informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para
lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é potencializada pela
escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado.
No entanto,
apesar dessa evidência, tem-se buscado, sem sucesso, uma aprendizagem em
Matemática pelo caminho da reprodução de procedimentos e da acumulação de
informações; nem mesmo a exploração de materiais didáticos tem contribuído para
uma aprendizagem mais eficaz, por ser realizada em contextos pouco
significativos e de forma muitas vezes artificial.
É fundamental
não subestimar a capacidade dos alunos, reconhecendo que resolvem
problemas, mesmo que
razoavelmente complexos, lançando mão de seus conhecimentos sobre o assunto e
buscando estabelecer relações entre o já conhecido e o novo.
O significado
da atividade matemática para o aluno também resulta das conexões que ele
estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e seu cotidiano e das
conexões que ele percebe entre os diferentes temas matemáticos.
Ao relacionar idéias matemáticas entre si,
podem reconhecer princípios gerais, como
proporcionalidade, igualdade,
composição e inclusão e perceber que processos como o estabelecimento de
analogias, indução e dedução estão presentes tanto no trabalho com números e
operações como em espaço, forma e medidas.
O
estabelecimento de relações é tão importante quanto a exploração dos conteúdos
matemáticos, pois, abordados de forma isolada, os conteúdos podem acabar
representando muito pouco para a formação do aluno, particularmente para a
formação da cidadania.
O professor e o saber matemático
O conhecimento
da história dos conceitos matemáticos precisa fazer parte da formação dos
professores para que tenham elementos que lhes permitam mostrar aos alunos a
Matemática como ciência que não trata de verdades eternas, infalíveis e
imutáveis, mas como ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos
conhecimentos.
Além disso,
conhecer os obstáculos envolvidos no processo de construção de conceitos é de
grande utilidade para que o professor compreenda melhor alguns aspectos da
aprendizagem dos alunos.
O
conhecimento matemático formalizado precisa, necessariamente, ser transformado
para se tornar passível de ser ensinado/aprendido; ou seja, a obra e o
pensamento do matemático teórico não são passíveis de comunicação direta aos
alunos. Essa consideração implica rever a idéia, que persiste na escola, de ver
nos objetos de ensino cópias fiéis dos objetos da ciência.
Esse processo
de transformação do saber científico em saber escolar não passa apenas por
mudanças de natureza epistemológica, mas é influenciado por condições de ordem
social e cultural que resultam na elaboração de saberes intermediários, como
aproximações provisórias, necessárias e intelectualmente formadoras. É o que se
pode chamar de contextualização do saber.
Por outro
lado, um conhecimento só é pleno se for mobilizado em situações diferentes
daquelas que serviram para lhe dar origem. Para que sejam transferíveis a novas
situações e generalizados, os conhecimentos devem ser descontextualizados, para
serem contextualizados novamente em outras situações. Mesmo no ensino
fundamental, espera-se que o conhecimento aprendido não fique indissoluvelmente
vinculado a um contexto concreto e único, mas que possa ser generalizado,
transferido a outros contextos.
Ensino e aprendizagem de Matemática
no primeiro ciclo
As crianças
que ingressam no primeiro ciclo, tendo passado ou não pela pré-escola, trazem
consigo uma bagagem de noções informais sobre numeração, medida, espaço e
forma, construídas em sua vivência cotidiana. Essas noções matemáticas funcionarão
como elementos de referência para o professor na organização das formas de
aprendizagem.
As coisas que
as crianças observam (a mãe fazendo compras, a numeração das casas, os
horários das atividades da
família), os cálculos que elas próprias fazem (soma de pontos de um
jogo, controle de quantidade de
figurinhas que possuem) e as referências que conseguem
estabelecer (estar distante de,
estar próximo de) serão transformadas em objeto de reflexão e se integrarão às
suas primeiras atividades matemáticas escolares.
Desse modo, é
fundamental que o professor, antes de elaborar situações de aprendizagem,
investigue qual é o domínio que cada criança tem sobre o assunto que vai
explorar, em que situações algumas concepções são ainda instáveis, quais as
possibilidades e as dificuldades de cada uma para enfrentar este ou aquele
desafio.
É importante
salientar que partir dos conhecimentos que as crianças possuem não significa
restringir-se a eles, pois é papel da escola ampliar esse universo de
conhecimentos e dar condições a elas de estabelecerem vínculos entre o que
conhecem e os novos conteúdos que vão construir, possibilitando uma
aprendizagem significativa.
Uma
característica marcante dos alunos deste ciclo é que sua participação nas
atividades tem um caráter bastante individualista, que os leva a não observar a
produção dos colegas; nesse sentido, é fundamental a intervenção do professor,
socializando as estratégias pessoais de abordagem de um problema, sejam elas
semelhantes ou diferentes, e ensinando a compartilhar conhecimentos.
Eles também
se utilizam de representações tanto para interpretar o problema como para
comunicar sua estratégia de resolução. Essas representações evoluem de formas
pictóricas (desenhos com detalhes nem sempre relevantes para a situação) para
representações simbólicas, aproximando-se cada vez mais das representações
matemáticas. Essa evolução depende de um trabalho do professor no sentido de
chamar a atenção para as representações, mostrar suas diferenças, as vantagens
de algumas, etc.
Ao explorarem
as situações-problema, os alunos deste ciclo precisam do apoio de recursos como
materiais de contagem (fichas, palitos, reprodução de cédulas e moedas),
instrumentos de medida, calendários, embalagens, figuras tridimensionais e
bidimensionais, etc.
Contudo, de
forma progressiva, vão realizando ações, mentalmente, e, após algum tempo,
essas ações são absorvidas. Assim, por exemplo, se mostram a certa altura
capazes de encontrar todas as possíveis combinações aditivas que resultam 10,
sem ter necessidade de apoiar-se em materiais e é importante que isso seja
incentivado pelo professor.
Um aspecto
muito peculiar a este ciclo é a forte relação entre a língua materna e a
linguagem matemática. Se para a
aprendizagem da escrita o suporte natural é a fala, que funciona como um
elemento de mediação na passagem do pensamento para a escrita, na aprendizagem
da Matemática a expressão oral também desempenha um papel fundamental.
Falar sobre
Matemática, escrever textos sobre conclusões, comunicar resultados, usando ao
mesmo tempo elementos da língua materna e alguns símbolos matemáticos, são
atividades importantes para que a linguagem matemática não funcione como um
código indecifrável para os alunos.
Conteúdos de Matemática para
o primeiro ciclo
No primeiro
ciclo as crianças estabelecem relações que as aproximam de alguns conceitos,
descobrem procedimentos simples e desenvolvem atitudes perante a Matemática.
Os
conhecimentos das crianças não estão classificados em campos (numéricos,
geométricos, métricos, etc.), mas sim interligados. Essa forma articulada deve
ser preservada no trabalho do professor, pois as crianças terão melhores
condições de apreender o significado dos diferentes conteúdos se conseguirem
perceber diferentes relações deles entre si.
Desse modo,
embora o professor tenha os blocos de conteúdo como referência para seu
trabalho, ele deve
apresentá-los aos alunos deste ciclo da forma mais integrada possível.
Em função da
própria diversidade das experiências vivenciadas pelas crianças também não é
possível definir, de forma única, uma seqüência em que conteúdos matemáticos
serão trabalhados nem mesmo o nível de aprofundamento que lhes será dado.
Por outro
lado, o trabalho a ser desenvolvido não pode ser improvisado, pois há objetivos
a serem atingidos. Embora seja possível e aconselhável que em cada sala de aula
sejam percorridos diferentes caminhos, é importante que o professor tenha
coordenadas orientadoras do seu trabalho; os objetivos e os blocos de conteúdos
são excelentes guias.
Uma abordagem
adequada dos conteúdos supõe uma reflexão do professor diante da questão do
papel dos conteúdos e de como desenvolvê-los para atingir os objetivos
propostos.
Com relação
ao número, de forma bastante simples, pode-se dizer que é um indicador de
quantidade (aspecto cardinal), que permite evocá-la mentalmente sem que ela
esteja fisicamente presente. É também um indicador de posição (aspecto
ordinal), que possibilita guardar o lugar ocupado por um objeto, pessoa ou
acontecimento numa listagem, sem ter que memorizar essa lista integralmente. Os
números também são usados como código, o que não tem necessariamente ligação
direta com o aspecto cardinal, nem com o aspecto ordinal (por exemplo, número
de telefone, de placa de carro, etc.).
No entanto,
essas distinções não precisam ser apresentadas formalmente, mas elas serão
identificadas nas várias situações de uso social que os alunos vivenciam e para
as quais o professor vai lhes chamar a atenção.
É a partir
dessas situações cotidianas que os alunos constroem hipóteses sobre o
significado dos números e começam a elaborar conhecimentos sobre as escritas
numéricas, de forma semelhante ao que fazem em relação à língua escrita.
As escritas
numéricas podem ser apresentadas, num primeiro momento, sem que seja
necessário compreendê-las e
analisá-las pela explicitação de sua decomposição em ordens e classes
(unidades, dezenas e centenas). Ou seja, as características do sistema de
numeração são observadas, principalmente por meio da análise das representações
numéricas e dos procedimentos de cálculo, em situações-problema.
Grande parte
dos problemas no interior da Matemática e fora dela são resolvidos pelas
operações fundamentais. Seria
natural, portanto, que, levando em conta essa relação, as atividades para o estudo
das operações se iniciasse e se desenvolvesse num contexto de resolução de
problemas.
No entanto,
muitas vezes se observa que o trabalho é iniciado pela obtenção de resultados
básicos, seguido imediatamente pelo ensino de técnicas operatórias convencionais
e finalizado pela utilização das técnicas em “problemas-modelo”, muitas vezes
ligados a uma única idéia das várias que podem ser associadas a uma dada
operação.
No primeiro
ciclo, serão explorados alguns dos significados das operações, colocando-se em
destaque a adição e a subtração, em função das características da situação.
Ao longo
desse trabalho, os alunos constroem os fatos básicos das operações (cálculos
com dois termos, ambos menores do que dez), constituindo um repertório que dá
suporte ao cálculo mental e escrito. Da mesma forma, a calculadora será usada
como recurso, não para substituir a construção de procedimentos de cálculo pelo
aluno, mas para ajudá-lo a compreendê-los.
Diversas
situações enfrentadas pelos alunos não encontram nos conhecimentos aritméticos
elementos suficientes para a sua abordagem. Para compreender, descrever e
representar o mundo em que vive, o aluno precisa, por exemplo, saber
localizar-se no espaço, movimentar-se nele, dimensionar sua ocupação, perceber
a forma e o tamanho de objetos e a relação disso com seu uso.
Assim, nas
atividades geométricas realizadas no primeiro ciclo, é importante estimular os
alunos a progredir na capacidade de estabelecer pontos de referência em seu
entorno, a situar-se no espaço, deslocar-se nele, dando e recebendo instruções,
compreendendo termos como esquerda, direita, distância, deslocamento, acima,
abaixo, ao lado, na frente, atrás, perto, para descrever a posição, construindo
itinerários. Também é importante que observem semelhanças e diferenças entre
formas tridimensionais e bidimensionais, figuras planas e não planas, que
construam e representem objetos de diferentes formas.
A exploração
dos conceitos e procedimentos relativos a espaço e forma é que possibilita ao
aluno a construção de relações para a compreensão do espaço a sua volta.
Tanto no
trabalho com números e operações como no trabalho com espaço e forma, grandezas
de diversas naturezas estarão envolvidas. Pela comparação dessas grandezas, em
situações-problema e com base em suas experiências pessoais, as crianças deste
ciclo usam procedimentos de medida e constroem um conceito aproximativo de
medida, identificando quais atributos de um objeto são passíveis de mensuração.
Não é
objetivo deste ciclo a formalização de sistemas de medida, mas sim levar a
criança a comprender o procedimento de medir, explorando para isso tanto
estratégias pessoais quanto ao uso de alguns instrumentos, como balança, fita
métrica e recipientes de uso freqüente. Também é interessante que durante este
ciclo se inicie uma aproximação do conceito de tempo e uma exploração do
significado de indicadores de temperatura, com os quais ela tem contato pelos
meios de comunicação. Isso pode ser feito a partir de um trabalho com relógios
de ponteiros, relógios digitais e termômetros.
Os assuntos
referentes ao Tratamento da Informação serão trabalhados neste ciclo de modo a
estimularem os alunos a fazer perguntas, a estabelecer relações, a construir
justificativas e a desenvolver o espírito de investigação.
A finalidade
não é a de que os alunos aprendam apenas a ler e a interpretar representações
gráficas, mas que se tornem capazes de descrever e interpretar sua realidade,
usando conhecimentos matemáticos.
Neste ciclo é
importante que o professor estimule os alunos a desenvolver atitudes de
organização, investigação,
perseverança. Além disso, é fundamental que eles adquiram uma postura diante de
sua produção que os leve a justificar e validar suas respostas e observem que
situações de erro são comuns, e a partir delas também se pode aprender. Nesse
contexto, é que o interesse, a cooperação e o respeito para com os colegas
começa a se constituir.
O primeiro
ciclo tem, portanto, como característica geral o trabalho com atividades que
aproximem o aluno das
operações, dos números, das medidas, das formas e espaço e da organização de
informações, pelo estabelecimento de vínculos com os conhecimentos com que ele
chega à escola. Nesse trabalho, é fundamental que o aluno adquira confiança em
sua própria capacidade para aprender Matemática e explore um bom repertório de
problemas que lhe permitam avançar no processo de formação de conceitos.
Ensino e aprendizagem de Matemática
no segundo ciclo
Muitos dos
aspectos envolvendo o processo de ensino e aprendizagem abordados no item
referente ao primeiro ciclo precisam também ser considerados pelos professores
do segundo ciclo.
Dentre esses
aspectos, destaca-se a importância do conhecimento prévio do aluno como ponto
de partida para a aprendizagem, do trabalho com diferentes hipóteses e
representações que as crianças produzem, da relação a ser estabelecida entre a
linguagem matemática e a língua materna e do uso de recursos didáticos como
suporte à ação reflexiva do aluno.
No entanto,
há outros aspectos a considerar, levando-se em conta que as capacidades
cognitivas dos alunos sofrem
avanços significativos. Eles começam a estabelecer relações de causalidade, o
que os estimula a buscar a explicação das coisas (porquês) e as finalidades
(para que servem). O pensamento ganha maior flexibilidade, o que lhes
possibilita perceber transformações. A reversibilidade do pensamento permite a
observação de que alguns elementos dos objetos e das situações permanecem e
outros se transformam. Desse modo, passam a descobrir regularidades e
propriedades numéricas, geométricas e métricas. Também aumenta a possibilidade
de compreensão de alguns significados das operações e das relações entre elas.
Ampliam suas hipóteses, estendendo-as a contextos mais amplos.
Assim, por
exemplo, percebem que algumas regras, propriedades, padrões, que identificam
nos números que lhes são mais familiares, também valem para números “maiores”.
É importante
ressaltar que, apesar desses avanços, as generalizações são ainda bastante
elementares e estão ligadas à
possibilidade de observar, experimentar, lidar com representações, sem chegar,
todavia, a uma formalização de conceitos.
Em relação ao
ciclo anterior, os alunos deste ciclo têm possibilidades de maior concentração
e capacidade verbal para expressar com mais clareza suas idéias e pontos de
vista. Pode-se notar ainda uma evolução das representações pessoais para as
representações convencionais; em muitos casos têm condições de prescindir de representações
pictóricas e podem lidar diretamente com as escritas matemáticas.
Outro ponto
importante a destacar é o de que, por meio de trocas que estabelecem entre si,
os alunos passam a deixar de ver seus próprios pontos de vista como verdades
absolutas e a enxergar os pontos de vista dos outros, comparando-os aos seus.
Isso lhes permite comparar e analisar diferentes estratégias de solução.
A Matemática Hoje
A Matemática
hoje é...
"Se todos os professores compreendessem que a qualidade
do processo mental, não a produção de respostas corretas, é a medida do
desenvolvimento educativo, algo de pouco menos do que uma revolução no ensino
teria lugar na escola"
(DEWEY, 1996).
Citado por Almeida (1993)
A Matemática é uma disciplina com características muito
próprias. Para estudar Matemática é necessário uma atitude especial, assim como
para o ensino não basta conhecer, é necessário criar. Com efeito, a Matemática utiliza-se
praticamente em todas as áreas: na Economia, na Informática, na Mecânica, na
Análise Financeira, entre tantas outras. Porque na nossa sociedade as ciências
e as técnicas evoluem de forma vertiginosa, a crescente complexidade dos
conceitos teóricos, dado o progresso das tecnologias, cria a necessidade de uma
Matemática cada vez mais forte. Donde, a ciência Matemática é ensinada nos
nossos dias em quase todo o mundo civilizado. A principal questão que se
levanta é: Como ensinar a Matemática? E o problema é o mesmo de sempre: Como
motivar o aluno? Como ensiná-lo a pensar? Como torná-lo autónomo?
A Matemática é, sem dúvida, a ciência que melhor permite
analisar o trabalho da mente e desenvolver um raciocínio aplicável ao estudo de
qualquer assunto ou temática. Contudo, talvez porque foram criados hábitos
mentais de que dificilmente nos conseguimos libertar, muitas são as
dificuldades que os jovens encontram no seu estudo. Pensamos que as principais
dificuldades devem-se ao fato de, no 1º ciclo, não ser devidamente explicitada
a relação entre os conteúdos temáticos e a realidade das crianças.
De igual modo, todas estas noções aparecem como se sempre
tivessem existido no pensamento humano, originando-se não se sabe como, sem que
todos se apercebam de que ela foi, e continua a ser, uma constante e inacabada
criação do Homem.
São muitos os problemas do mundo antigo que ainda hoje não
têm solução e, por isso, constituem fontes incessantes de novos conceitos.
Apesar de ter vindo sempre a evoluir, é notório o desenvolvimento da Matemática
no século XX.
Acreditamos que ensinar Matemática sem explicitar a origem e
as finalidades dos conceitos é contribuir para o insucesso escolar. Sendo um
dos objetivos fundamentais da educação criar no aluno competências, hábitos e
automatismos úteis, bem como desenvolver capacidades, urge implementar uma
moderna educação Matemática, a qual está relacionada com programas e métodos de
ensino - o professor deve saber o que está a ensinar, o modo como o faz e o
porquê do que ensina.
A Motivação
em Matemática
Esta é uma disciplina em que são notórios os momentos de
dificuldade, obstáculos e erro. Isto acontece porque a Matemática é assim
mesmo, uma ciência em que é fundamental persistir e não desistir. Quem a
encarar desta maneira certamente conseguirá a motivação necessária para gostar
dela. Porém, a motivação em Matemática é uma questão complexa. O absentismo por
parte dos alunos nesta disciplina é muito mais significativo do que em qualquer
outra; por esta razão, cabe ao professor proporcionar um ambiente motivacional
de tal modo que todos os alunos se sintam sem ansiedade e sem medo de errar. O
erro e as dificuldades devem ser interpretadas como tendo uma grande utilidade
na auto-avaliação do aluno. Assim, este poderá ultrapassá-los, obtendo êxito
nos domínios em causa.
Como motivar os alunos? Pensamos que, à semelhança da
resolução de problemas, não existem receitas. O professor tem que ser capaz de
o conseguir; os meios audiovisuais, o jogo e os materiais manipuláveis podem
ser a resposta que desejamos encontrar. Até a própria história da Matemática
pode ser um começo. Por exemplo, a pequena metragem "Donald no Mundo da
Matemática", produzida pela Walt Disney e divulgada entre nós, é um
excelente motor para a discussão, exploração e descoberta de conceitos
matemáticos, pois estimula a imaginação dos alunos e o próprio interesse pelas
temáticas que aborda.
Neste contexto, o professor de Matemática dos nossos dias
não pode cruzar os braços e ensinar do mesmo modo que outros o fizeram ontem. É
perfeitamente possível esquecer os exercícios rotineiros e fastidiosos de
outros tempos, quiçá do atual, entregando os nossos saberes expectantes de uma
nova forma de ensinar, motivadora e desafiante.
A
problemática da resolução de problemas
"Aqueles que resolvem bem problemas passam tempo a
compreender o problema antes de o atacar... podem criar várias
representações... usam várias estratégias, empenham-se em processos
metacognitivos, incluindo a gestão do progresso e a verificação da resolução e
do resultado".
(MAYER, 1983, p.21)
A problemática subjacente à resolução de problemas não é de
hoje, mas continua atual, na medida em que não existem ainda respostas em
termos da perspectiva com que deve ser encarada no ensino da Matemática. As
aulas de Matemática estarão condenadas a ser aulas taciturnas, aborrecidas e
desinteressantes, completamente defasadas do meio exterior e sem qualquer
aplicação as realidades da vida?
Parece-nos claro que em educação matemática a resolução de
problemas esteve desde sempre associada a esta disciplina. Muita da matemática
é mesmo a resolução de problemas sobre este ou aquele assunto, uns mais
teóricos e outros mais práticos, mas não existe uma receita para os resolver.
Porque não resolver problemas da vida real? Porque não resolver problemas que a
criança encontra nas suas próprias vivências?
Como referimos anteriormente, não existem receitas; no
entanto, alguns modelos de resolução de problemas tem sido divulgados, fruto de
trabalhos desenvolvidos nesta área. Com efeito, foi desenvolvida nos últimos
30-40 anos grande parte da literatura a que hoje temos acesso. É crescente a
ideia de que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas em
Matemática tem repercussões na formação global de qualquer indivíduo. Deste modo,
cada um de nós desenvolve capacidades, tais como o pensar, o raciocinar e o
resolver problemas relativos à vida do dia-a-dia, podendo inclusive desenvolver
o gosto pela Matemática dado o seu caráter de descoberta e aventura. Assim
sendo, educadores e formadores matemáticos, atribuem cada vez mais uma maior
relevância à disciplina.
Na nossa formação inicial estudamos criticamente alguns dos
modelos existentes e, sem dúvida, o modelo de Polya foi eleito o nosso modelo.
Para Polya, existem cinco fases na resolução de um problema,
mas como não é nosso objetivo aprofundar este tema (e acreditem que ainda assim
muito ficaria por dizer) vamos apenas identificá-las:
. Definição do problema;
. Seleção de uma estratégia de resolução;
. Execução da estratégia selecionada;
. Avaliação do resultado e do processo;
. Auto-avaliação.
Mas nem sempre a resolução de problemas foi encarada desta
forma. Na escola tradicional servia principalmente para aplicar e mecanizar
conceitos e processos já estudados, quer simples quer muito elaborados. Só em
meados dos anos 60 se falou em devolver ao problema um papel importante, ou
seja, um iniciar da descoberta para alcançar o conhecimento. Começou então a
falar-se da Matemática Moderna, embora esta reforma tenha conhecido alguns
obstáculos como a massificação do ensino e o descontentamento gerado em torno
da aprendizagem da matemática. Contudo, uma nova noção de problema nasceu e foi
crescendo, sendo definida como uma questão ou situação para a qual não se
dispõe, de imediato, de nenhum processo rotineiro para a resolver ou de nenhuma
resposta.
Esta é uma questão complexa, mas se acreditarmos que com a
resolução de problemas ajudamos a encarar a Matemática como uma ciência em
constante evolução e, enquanto disciplina, no crescimento de alunos ativos e
empenhados na construção dos seus conhecimentos e saberes, teremos que nos
esforçar por torná-la central na educação matemática, como refere Polya:
"O principal objetivo da educação é ensinar os mais
novos a pensar e a resolução de problemas constitui uma arte prática que todos
os alunos podem aprender. Porque o ensino é, na sua perspectiva, também uma
arte, ninguém pode programar ou mecanizar o ensino da resolução de problemas;
este ensino é uma atividade humana que requer experiência, gosto e bom
senso".
(BOAVIDA, 1992, p.109)
Utilizar materiais é importante...
A aula de Matemática deve tornar-se um dos (melhores) locais
para preparar os indivíduos que a sociedade atual exige. Deste modo, os
professores só podem dar resposta a estas novas exigências e responsabilidades
através de uma inovação curricular, de uma nova concepção pedagógica e de uma
correta aplicação de materiais.
Segundo as teorias de Jean Piaget, a criança passa por
vários estádios ao longo do seu desenvolvimento cognitivo. Também a construção
de conceitos matemáticos é um processo longo que requer um envolvimento ativo
da criança-aluno e vai progredindo do concreto para o abstrato. Sabe-se também
que o processo de abstração matemática começa para as crianças na interação
destas com o meio e só depois com os materiais concretos que, em princípio, as
conduzem aos conceitos matemáticos. Acontece que estes materiais manipuláveis
são fundamentais se pensarmos em ajudar a criança na passagem do concreto para
o abstrato, na medida em que eles apelam a vários sentidos e são usados pelas
crianças como uma espécie de suporte físico numa situação de aprendizagem.
Assim sendo, parece relevante equipar as aulas de Matemática com todo um
conjunto de materiais manipuláveis (cubos, geoplanos, tangrans, réguas, papel
ponteado, ábaco, e tantos outros) feitos pelo professor, pelo aluno ou
produzidos comercialmente, em adequação com os problemas a resolver, as ideias
a explorar ou estruturados de acordo com determinado conceito matemático.
Os professores de Matemática necessitam de recursos
adequados, sendo fundamentais à aprendizagem e à construção da Matemática não
só os materiais manipuláveis como os que acabamos de referir, como também as
calculadoras e, às portas do século XXI, os computadores. Se a calculadora deve
ou não ser utilizada nas aulas de Matemática, é uma questão controversa, pelo
que as opiniões dividem-se. Da nossa parte, julgamos útil utilizá-la em
situações de cálculo mas só quando esta é pensada em termos de permitir ao
aluno dedicar mais tempo ao processo de resolução. Pensamos que assim estaremos
a contribuir para a experimentação, verificação e realização de conjecturas por
parte do aluno. Contudo, deve ter-se bastante cuidado pois o seu uso incoerente
e desadequado às situações de aprendizagem poderá, a médio ou a longo prazo,
inibir o desenvolvimento das capacidades de cálculo.
No que concerne à inclusão do computador nas aulas de
Matemática, dado que cada vez mais crescemos num ambiente em que as tecnologias
de informação, em especial o computador, este parece assumir atualmente um
papel importante. Temos vindo a defender a ideia de que é necessário
diversificar o tipo de atividades na sala de aulas. Ora o computador é um ótimo
instrumento no desenvolvimento de experiências e no ensaio de estratégias de
resolução de problemas. Mas, mais do que isso, ele é importante na construção
da própria Matemática: na formulação, investigação e exploração de situações
problemáticas, bem como no desenvolvimento do gosto pela disciplina. Na
verdade, com a utilização dos computadores o próprio valor estético dos
trabalhos realizados neste âmbito pode ser um estímulo positivo já que os
jovens vivem diariamente bombardeados por fortes concepções estéticas.
No entanto, é fundamental não esquecer que só a utilização
de materiais não garante uma aprendizagem eficaz e significativa. Para além da
manipulação, é preciso refletir nos processos e nos produtos porque o mais
importante no ensino-aprendizagem da Matemática é a atividade mental a
desenvolver nos e pelos alunos.
Sobre o jogo...
A educação matemática derige-se sobretudo para a valorização
dos seguintes aspectos: a resolução de problemas, a comunicação, o raciocínio
matemático e as conexões. Porque a Matemática é também uma forma de
comunicação, uma segunda linguagem, é essencial que a aula de Matemática funcione
como um espaço onde o aluno possa comunicar as suas ideias. Neste sentido, as
atividades em grupo são extremamente importantes, uma vez que permitem ao aluno
aprender a trabalhar com os colegas e, logicamente, a comunicar. O jogo pode
revelar-se um ótimo aliado neste processo porque, enquanto jogam, os alunos vão
percebendo a(s) finalidade(s) do jogo, compreendendo e partilhando significados
e conceitos através do diálogo no grupo e com o professor. Donde, o jogo na
aprendizagem da Matemática constitui um fator estimulador da capacidade de
comunicar.
Contudo, por vezes, ouvimos alguns professores de Matemática
dizer que o jogo, por ser uma atividade lúdica, embora inerente ao
desenvolvimento intelectual, emocional e social da criança e da cultura humana,
pode transmitir uma ideia errada aos alunos, ou seja, a Matemática lúdica é
divertida e, sem jogos, volta a ser difícil, aborrecida e séria. Por este
motivo, é necessário apercebermo-nos que durante o jogo há um espaço para a
imaginação e a criatividade, mas é crucial definir uma estratégia da sua
utilização adequada na sala de aula. A Matemática é divertida, criativa, muito
útil, e até mágica, (são muitos os alunos que participam e gostam dos clubes de
Matemática) mas urge a sua explicita contextualização com o real.
O insucesso na Matemática
Quando em Sociologia da Educação abordamos esta temática
ficamos a conhecer algumas investigações (de Binet e Simon) datadas do início
do século, as quais explicavam o insucesso em termos de perturbações e
deficiências intrínsecas ao indivíduo. No entanto, hoje, pais e professores
acreditam que não existem alunos incapazes e cabe à escola torná-los capazes.
Aprender Matemática é essencialmente aprender uma
determinada forma de pensar, que se desenvolve, como todas as outras formas de
pensar. É por isso que não aprendemos Matemática da mesma maneira como se fez
ontem e se fará amanhã. Pensamos que grande parte do insucesso escolar resulta
do desconhecimento deste fato, sobretudo por parte dos responsáveis pela gestão
do ensino e todo um conjunto de ações inerentes a este processo. Embora não
sendo exclusivo da disciplina de Matemática, o insucesso escolar tornou-se uma
preocupação para o sistema educativo português, o qual não deu ainda respostas
concretas e eficazes para a solução deste problema. De acordo com afirmações
que ouvimos com frequência de gerações anteriores, o insucesso em Matemática já
existia nesses tempos, embora assuma atualmente um significado diferente.
Frequentemente, encontramos pessoas, mais ou menos jovens, que manifestam uma
clara atitude negativa perante a Matemática, provavelmente relacionada com uma
frustrante incapacidade para as atividades matemáticas mais elementares do
dia-a-dia ou associadas a atividades profissionais. Nas nossas escolas o mesmo
acontece, de tal modo que professores e pais já estão habituados a atitudes
passivas e desinteressadas acerca da disciplina referida. Nós próprias, com o
reduzido tempo de presença nas escolas, na medida em que estamos a iniciar a
prática educativa, temos a nítida percepção de que, nas aulas de Matemática
muitos alunos encontram-se completamente alienados de toda e qualquer atividade
matemática ali desenvolvida. Serão estas atitudes o reflexo das baixas
expectativas Em relação a esta disciplina? Será um problema de ansiedade e
medo? Como e quando se desenvolvem? Parece-nos que, efetivamente, o
ensino-aprendizagern da Matemática, atravessa uma profunda crise que a nível
das escolas, como proposta do sistema, tenta combater-se através de projetos
educativos de apoio individual aos alunos que apresentam maiores dificuldades.
Por sua vez, cabe às estruturas de ensino organizar de forma exequível e
implementar tais projetos.
Ao analisarmos os pressupostos da Lei de Bases do Sistema
Educativo Português de 14 de Outubro de 1986, deparamos com os princípios
orientadores da reforma educativa na qual está implícita a ideia de que a
Matemática, assim como o Português, é uma área fulcral na formação global do
aluno e, consequentemente, na do cidadão. Por conseguinte, e porque a
Matemática é sem dúvida essencial ao desenvolvimento de quase todos os
sectores, senão de todos, se os cidadãos não aprenderem Matemática e não
desenvolverem a sua inteligência certamente os países terão muitas dificuldades
em competir e absorver as contínuas revoluções tecnológicas.
Julgamos que é necessário para o sucesso estabelecer e
implementar algumas ideias: a primeira, talvez a mais importante é, da parte do
professor, depositar no seu trabalho todo o gosto, dedicação e empenho ao
ensino; em segundo lugar, organizar as escolas de forma que, a priori, se
perspective eficácia na ação a desenvolver. Por exemplo, o efetivo de uma turma
ultrapassa em grande número o limite desejável, pelo que professor e alunos
deixam de o ser, ou seja, um e outros vêem erradicadas as suas oportunidades de
êxito. Eventualmente, concepções e práticas terão que se adaptar às
necessidades atuais, sofrendo as mudanças necessárias, mudanças essas fruto da
evolução das mentalidades e conscientização dos problemas efetivos inerentes a
esta disciplina.
Atitudes e concepções em relação à Matemática e sua
aprendizagem
As concepções que se têm da Matemática e dos objetivos em
vista no seu ensino-aprendizagem podem constituir um ponto de partida
relativamente a uma estratégia de ação no sentido de solucionar o problema do
insucesso nesta disciplina. Analisando as atitudes e as concepções de alunos,
pais (encarregados de educação) e professores, é possível orientar o ensino
desta disciplina de modo a torná-la uma experiência escolar de sucesso. De
notar que entendemos por atitude qualquer resposta do indivíduo a estímulos
exteriores, e por concepções, a perspectiva com a qual cada um de nós aborda a
Matemática e as atividades matemáticas. Muitas têm sido as investigações
realizadas acerca das concepções dos professores, no entanto, iremos apenas
opinar sobre as concepções dos alunos e dos pais.
Os alunos dizem...
Quando falamos de Matemática ocorre-nos a ideia de que, em
geral, os alunos gostam da disciplina quando tem êxito na resolução das
atividade que lhes são propostas. Num estudo realizado com 120 alunos dos 5º,
6º, 8º e 10º anos de escolaridade, em três escolas do distrito de Viseu,
utilizamos um questionário com 4 itens relativos às distribuições do sucesso ou
fracasso e às ideias dos alunos acerca da Matemática. Um dos resultados mais
evidente da nossa investigação é a ideia de que a Matemática é uma disciplina
complexa e sem qualquer utilidade prática, ou seja, não relacionada com a
realidade. Para os alunos do 8º ano, na escola primária a Matemática era a disciplina
preferida, mas no 10º ano sucede o contrário. Estes alunos apontam como uma das
principais causas das múltiplas dificuldades que sentem a carência de conceitos
básicos inerentes a anos escolares anteriores. Curiosamente, apenas os alunos
do 6º ano de escolaridade apresentam índices razoáveis de hábitos de leitura e
investigação. Quanto à utilização de materiais na sala de aula, nomeadamente da
calculadora, os alunos do 8º ano são unânimes relativamente à sua utilização
imprescindível nas aulas. No entanto, 47% consideram-na prejudicial para o
cálculo (uma grande dificuldade da maioria dos alunos).
Dada a dificuldade em perceber a matéria os alunos recorrem,
por vezes, a um explicador, sendo este fato mais notório a nível do 10º ano de
escolaridade.
Os pais dizem...
Para muitos pais, a Matemática é considerada um
quebra-cabeças dos filhos, ou seja, uma disciplina na qual a maioria dos alunos
apresenta dificuldades. As principais causas do insucesso apontadas pelos pais
são: a desmotivação dos alunos, a pouca atenção dos professores relativamente
aos alunos com maiores dificuldades, a complexidade da disciplina, a carência
de conceitos básicos, os inadequados métodos de ensino e a falta de estudo em
casa.
Pensamos que muitas vezes a família aceita com toda a
naturalidade um explicador de Matemática. Pessoalmente, julgamos que os pais
deveriam ajudar logo no início, isto é, no 1º ciclo, com o intuito de incutir
nos seus filhos a ideia de que a Matemática é uma disciplina interessante e
criativa, onde errar significa aperfeiçoar técnicas e não desistir. Se um aluno
for persistente decerto conseguirá obter êxito nesta disciplina. De seguida
expomos os resultados que dizem respeito à investigação centrada na opinião dos
pais.
Concluindo...
Os princípios orientadores da Lei de Bases do Sistema
Educativo e a Reforma Curricular, atribuem cada vez mais prioridade e
relevância ao desenvolvimento de atitudes e capacidades intelectuais, na medida
em que a sociedade atual exige cidadãos melhor preparados intelectualmente:
seres pensantes e autônomos.
Na aula de Matemática não podemos descurar nem minimizar os
conteúdos científicos, bem como devemos ter a preocupação de capacitar os
alunos em termos do domínio de processos e do desenvolvimento de aptidões que
conduzam para a resolução de problemas, adaptando-os a novas situações.
O insucesso em Matemática não depende exclusivamente das
características da disciplina nem das concepções dominantes acerca da sua
aprendizagem. Urge renovar profundamente a escola, de forma a que esta se torne
um espaço motivante de trabalho e de crescimento pessoal e social. Isso
pressupõe, eventualmente, uma intervenção aos mais diversos níveis, incluindo
as práticas pedagógicas, o currículo, o sistema educativo e a própria sociedade
em geral. É necessário que os educadores matemáticos promovam uma visão da
Matemática como uma ciência em permanente evolução, que procura responder aos
grandes problemas de cada, mas também cria os seus próprios problemas. Podemos
mesmo dizer que o desenvolvimento desta ciência alcançou um tal estado que esta
se tornou uma parte crucial da cultura do homem de hoje e do homem de amanhã.
Cada um de nós deverá tomar consciência da Matemática subjacente à maior parte
das nossas atividades, não esquecendo que as boas atividades em Matemática são
aquelas que relacionam o pensamento matemático com os conceitos matemáticos ou
aptidões e que despertam a curiosidade dos alunos.
Por Que Ensinar Matemática?
POR QUE
ENSINAR MATEMÁTICA?
As mentiras que dizemos acerca de nossos deveres e
propósitos, as palavras sem sentido da Ciência e Filosofia, são paredes que
caem ante um pequenino "Por quê?".
John Steinbeck
The Log from the Sea of Cortez
John Steinbeck
The Log from the Sea of Cortez
A Matemática é útil !
Esta é uma muito citada razão para ensinarmos
Matemática. Ninguém se atreveria a dizer o contrário.
As perguntas que precisam ser respondidas, contudo, são:
A matemática que ensinamos foi selecionada de acordo com esse critério?
e, a resposta sendo sim , há mais esta:
Alguém, recentemente, reexaminou o presente currículo tendo em vista o citado critério?
As perguntas que precisam ser respondidas, contudo, são:
A matemática que ensinamos foi selecionada de acordo com esse critério?
e, a resposta sendo sim , há mais esta:
Alguém, recentemente, reexaminou o presente currículo tendo em vista o citado critério?
Se examinarmos as aplicações que aparecem nas listas de exercícios de nossos livros textos, veremos que não pode-se acreditar que nossos currículos tenham sido selecionados em termos de plausíveis utilidades.
Implícito na cultura ocidental está a
noção de que a Natureza é regida por leis matemáticas. A crença no Determinismo
nos faz crer que se conhecermos as leis ( matemáticas ) da Natureza, bastará
alimentá-las com dados/medidas para podermos ficar conhecendo o futuro. Causa e
previsível efeito. Mais do que isso, as formas naturais imitariam a perfeição
das figuras euclidianas, como círculos e triângulos. Nas palavras de Galileo
Galilei: Deus escreveu o Universo usando
a linguagem matemática. Consequentemente, o entendimento da Matemática é
pre-requisito para o entendimento, apreciação e controle da Natureza.
Na verdade, Deus deve ter escrito o Universo em linguagem matemática, mas está ficando cada vez mais evidente que para isso ele não usou as equações e fórmulas estudas no primário e secundário. Essas suposições implicam que os fenômenos naturais são descritos por funções deriváveis, e isso não corresponde ao que se mede e observa nos laboratórios e no campo. Ademais,já é de algum tempo que os matemáticos aplicados sabem que a Matemática não rege a Natureza; ela apenas a descreve e isso de modo bastante grosseiro. Descobertas recentes, como a caoticidade, enterraram bem fundo o Determinismo Clássico.
Na verdade, Deus deve ter escrito o Universo em linguagem matemática, mas está ficando cada vez mais evidente que para isso ele não usou as equações e fórmulas estudas no primário e secundário. Essas suposições implicam que os fenômenos naturais são descritos por funções deriváveis, e isso não corresponde ao que se mede e observa nos laboratórios e no campo. Ademais,já é de algum tempo que os matemáticos aplicados sabem que a Matemática não rege a Natureza; ela apenas a descreve e isso de modo bastante grosseiro. Descobertas recentes, como a caoticidade, enterraram bem fundo o Determinismo Clássico.
Duas opiniões suportando o que acabamos de
colocar:
1.
Se as leis da Matemática
aplicam-se a realidade, não estou certo. E se elas são certas, elas não
aplicam-se a realidade.
Albert Einstein, em Geometry and Experience.
Albert Einstein, em Geometry and Experience.
2.
O que observamos não é
propriamente a Natureza, mas sim a Natureza revelada ao nosso método de
questionamento.
Werner Heisenberg, em Physics and Philosophy.
Werner Heisenberg, em Physics and Philosophy.
Um currículo de matemática baseado em paradigma
descritivo , em vez de um paradigma prescritivo, ainda está por ser
desenvolvido.
A Matemática prepara para a cidadania !
O preparo do cidadão envolve o
desenvolvimento de habilidades profissionais. Muitas dessas dependem de
matemática.
Essa, sem dúvida, é uma justificativa mais
do que suficiente para ensinarmos matemática. Eu acrescentaria que os
estudantes devem, também, adquirir habilidades relacionadas com o gerenciamento responsável de suas finanças pessoais.
Em adição, para que possa participar das decisões políticas cada vez mais
comuns na sociedade moderna, é necessário um certo nível de entendimento de conceitos estatísticos e econômicos.
Essa matemática apropriada para o preparo
da cidadania não é ensinada no nosso sistema escolar. Sob a denominação de
Consumer Mathematics, tópicos modificados ( leia-se "diluídos" )
desse tipo começam a ser oferecidos, nos USA e Canadá, para alunos que não
pretendem ingressar na universidade.
Entre o que estuda-se nos secundário há
pre-requisitos para tópicos essenciais encontrados na educação universitária ou
vocacional. Estudantes que esperam fazer estudos pós-secundários, em escolas
técnicas ou universidades, sabem que boas notas nas disciplinas de matemática do
secundário são fundamentais para o ingresso nessas instituições. A tendência é
de nem ser mais suficiente ter "boas notas", é cada vez mais
importante ter as "melhores notas".
Mas é também verdade que as pessoas
responsáveis pelos exames vestibulares sabem que a Matemática é um eficiente filtro. E eles até defendem-se alegando
que quem teve bom desempenho em Matemática demonstrou capacidade de aprender e
é, consequentemente, capaz de sair-se bem em outros assuntos. Isso
provavelmente é verdadeiro; mas será que não é demasiado desperdício e será que
não existe outro critério com maior correlação com o sucesso ?
Uma das coisas que torna a Matemática
especialmente atrativa com filtro é sua alta capacidade de discriminar entre
respostas certas e erradas. Isso lhe dá uma aura de instrumento altamente
preciso.
De qualquer modo, como os vestibulares de
vários tipos envolvem prova de conhecimento de matemática do secundário, todo o
currículo do secundário acabou gravitando em torno disso. Resultado: formação
cultural, desenvolvimento da capacidade de pensar e resolver problemas,
utilidade na vida do cotidiano, entendimento dos fenômenos naturais, e a
cidadania consciente e informada NADA TEM A VER com tal currículo.
Apesar do pequeno percentual de estudantes
que completam estudos pós-secundários, muitas vezes em campos envolvendo
nenhuma matemática, o currículo do primário e secundário é determinado em
função do que as instituições pós-secundárias exigem em seus exames de
admissão. E isso é tudo.
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