INTERVALOS

NÚMEROS REAIS E RETA REAL

 

 

O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados números reais e duas operações denominadas adição e multiplicação.

Se a e b forem elementos do conjunto R, a+b (soma) e a.b (produto) pertencem a R.

Subtração: onde –b é o negativo de b, tal que

Divisão: é o inverso de b tal que

 

Um número real é positivo, negativo ou zero e qualquer número real pode ser classificado como racional ou irracional.

Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Ou seja:

inteiros não nulos

Os números racionais consistem em:

• Z – números inteiros ( positivos, negativos e zero ) ----,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5---
  
• As frações positivas e negativas como:
  
• Os decimais que terminam, positivos e negativos como:
  
• Os decimais que não terminam mas são periódicos, como:
  

 

Os números reais que não são racionais são chamados de números irracionais. São decimais que não terminam e não são periódicos como:

 

Conjuntos:

 

Lê-se:

x

- ( Aunião B)é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B ou em ambos.

- ( A interseção B) é o conjunto de elementos que estão em A e B.

- não contem nenhum elemento.

 

Primeiro exemplo:

. Então:

 

O conjunto R é ordenado pelos símbolos

 

 

 

 

Definição:

Se a e b

 

 

 

Definição:

Se a e b

 

 

 

são desiqualdades.

 

Definição:

 

 

 

 

Também:

 

Propriedades: Se

1. Se
   
2. Se
   
3. Se
   
4. Se
   
5. Se
   
6. Se
   
7. Se
   

 

Intervalos:

 

1. Intervalo aberto
   
2. Intervalo fechado
   
3. 
   
4. 
   
5. 
   
6. 
   
7. 
   
8. 
   
9. 
   

 

 

 

Segundo exemplo:

 

Ache e mostre na reta numérica real o conjunto-solução da desigualdade:

 

S=

 

 

Terceiro exemplo:

 

Idem para

 

 

 

 

 

Quarto exemplo:

 

Idem para

 

Para multiplicarmos ambos os membros da desigualdade por x o sentido da desigualdade resultante dependerá de x ser positivo ou negativo. Observe que se então o que contradiz a desigualdade dada.

Considerando x>0 temos que

 

 

Quinto exemplo:

 

Idem para

 

Caso 1:

 

 

 

=

 

Caso 2:

 

 

 

Valor absoluto:

 

Definição: O valor absoluto ou módulo de x, denotado por , é definido por

 

 

 

Veja:

 

Propriedades:

 

1)

2)

3)

4)

 

Sexto exemplo:

 

Resolva as equações:

 

a)

 

Soluções:

 

a)

 

b)

 

c) a equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode ser negativo.

 

d)

 

 

 

 

(impossível)

 

Logo x= -1 ou x= 2

 

Sétimo exemplo:

 

Resolva as inequações:

 

a) b)

 

Soluções:

 

a)

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ilustração:

 

 

Ou seja:

 

Propriedades:

Se

 

1)

2)

3)

4)

5)

 

 

 

EXERCÍCIOS A SEREM FEITOS:

 

1) Resolva as inequações:

 

a) R:

b) R:

 

 

c) R:

d) R:

 

2) Resolva as equações:

 

a) R:

b) R:

c) R:

d) R:

e) R:

f) R:

 

3) Resolva as inequações:

 

a) R:

b) R:

c) R:

d) R:

e) R:

f) R: